TEORI GALOA DAN APLIKASI

 Dalam matematika , teori Galois memberikan hubungan antara teori medan dan teori grup . Dengan menggunakan teori Galois, masalah-masalah tertentu dalam teori medan dapat direduksi menjadi teori grup, yang dalam arti tertentu lebih sederhana dan lebih dipahami. Ini telah digunakan untuk memecahkan masalah klasik termasuk menunjukkan bahwa dua masalah kuno tidak dapat diselesaikan seperti yang dinyatakan ( menggandakan kubus dan melipatgandakan sudutnya ); menunjukkan bahwa tidak ada rumus kuintik ; dan menunjukkan poligon mana yang dapat dibangun .

Diagram kisi Q berdampingan dengan akar kuadrat positif dari 2 dan 3, sub-bidangnya, dan gugus Galois.

Subjek ini dinamai Évariste Galois , yang memperkenalkannya untuk mempelajari akar suatu polinomial dan mengkarakterisasi persamaan polinomial yang dapat diselesaikan oleh radikal dalam hal sifat kelompok permutasi dari akarnya — sebuah persamaan dapat diselesaikan dengan radikal jika akarnya dapat dinyatakan dengan rumus yang hanya melibatkan bilangan bulat , akar n , dan empat operasi aritmatika dasar.

Teori ini telah dipopulerkan di kalangan matematikawan dan dikembangkan oleh Richard Dedekind , Leopold Kronecker , Emil Artin , dan lainnya yang menafsirkan kelompok permutasi akar sebagai kelompok automorfisme dari perluasan bidang .

Teori Galois telah digeneralisasikan ke koneksi Galois dan teori Galois Grothendieck .

Isi

Aplikasi untuk masalah klasik

Kelahiran dan perkembangan teori Galois disebabkan oleh pertanyaan berikut, yang merupakan salah satu pertanyaan matematika terbuka utama hingga awal abad ke-19:

Adakah rumus untuk akar persamaan polinomial derajat kelima (atau lebih tinggi) dalam hal koefisien polinomial, hanya menggunakan operasi aljabar biasa (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) dan penerapan akar (akar kuadrat, akar kubus, dll)?

Teorema Abel – Ruffini memberikan contoh berlawanan yang membuktikan bahwa terdapat persamaan polinomial yang rumus tersebut tidak dapat ada. Teori Galois memberikan jawaban yang jauh lebih lengkap untuk pertanyaan ini, dengan menjelaskan mengapa beberapa persamaan dimungkinkan, termasuk semua persamaan derajat empat atau lebih rendah, dengan cara di atas, dan mengapa tidak mungkin untuk sebagian besar persamaan derajat lima atau lebih tinggi. Selain itu, ini menyediakan cara untuk menentukan apakah persamaan tertentu dapat diselesaikan yang jelas secara konseptual dan mudah diekspresikan sebagai algoritme .

Teori Galois juga memberikan wawasan yang jelas tentang pertanyaan tentang masalah dalam kompas dan konstruksi garis lurus . Ini memberikan karakterisasi elegan dari rasio panjang yang dapat dibangun dengan metode ini. Dengan menggunakan ini, menjadi relatif mudah untuk menjawab masalah klasik geometri seperti

1. Poligon biasa mana yang dapat dibangun ? ^[1]
2. Mengapa tidak mungkin membagi dua setiap sudut menggunakan kompas dan penggaris -sejajar ? ^[1]
3. Mengapa menggandakan kubus tidak mungkin dilakukan dengan metode yang sama?

Sejarah

Lihat juga: Aljabar abstrak § Teori kelompok awal

Teori Galois berasal dari studi tentang fungsi - fungsi simetris - koefisien dari polinomial monik adalah (sampai tanda) adalah polinomial simetris elementer di akar. Misalnya, ( x - a ) ( x - b ) = x ² - ( a + b ) x + ab , di mana 1, a + b dan ab adalah polinomial dasar derajat 0, 1 dan 2 dalam dua variabel.

Ini pertama kali diresmikan oleh ahli matematika Prancis abad ke-16, François Viète , dalam rumus Viète , untuk kasus akar nyata positif. Menurut pendapat ahli matematika Inggris abad ke-18 Charles Hutton , ^[2] ekspresi koefisien polinomial dalam kaitannya dengan akar (tidak hanya untuk akar positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 Albert Girard ; Hutton menulis:

... [Girard adalah] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien kekuatan dari penjumlahan akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahkan pangkat dari akar persamaan apa pun.

Dalam hal ini, diskriminan adalah fungsi simetris di dalam akar yang mencerminkan sifat-sifat akar - nilainya nol jika dan hanya jika polinomialnya berakar banyak, dan untuk polinomial kuadrat dan kubik bernilai positif jika dan hanya jika semua akar adalah nyata dan berbeda, dan negatif jika dan hanya jika terdapat sepasang akar konjugasi kompleks yang berbeda. Lihat Diskriminan: Sifat akar untuk detailnya.

Kubik tersebut pertama kali diselesaikan sebagian oleh matematikawan Italia abad 15-16, Scipione del Ferro , yang tidak mempublikasikan hasilnya; metode ini, meskipun, hanya menyelesaikan satu jenis persamaan kubik. Solusi ini kemudian ditemukan kembali secara independen pada tahun 1535 oleh Niccolò Fontana Tartaglia , yang membagikannya dengan Gerolamo Cardano , memintanya untuk tidak menerbitkannya. Cardano kemudian memperluas ini ke banyak kasus lain, dengan menggunakan argumen serupa; lihat lebih detail di metode Cardano . Setelah penemuan karya del Ferro, ia merasa bahwa metode Tartaglia bukan lagi rahasia, dan karenanya ia menerbitkan solusinya di tahun 1545 Ars Magna . ^[3] Muridnya Lodovico Ferrari memecahkan masalah polinomial kuartik; solusinya juga dimasukkan dalam Ars Magna. Namun, dalam buku ini, Cardano tidak memberikan "rumus umum" untuk penyelesaian persamaan kubik, karena ia tidak memiliki bilangan kompleks yang dapat digunakan, maupun notasi aljabar untuk dapat menggambarkan persamaan kubik umum. Dengan keunggulan notasi modern dan bilangan kompleks, rumus-rumus dalam buku ini berfungsi dalam kasus umum, tetapi Cardano tidak mengetahui hal ini. Rafael Bombelli yang berhasil memahami cara bekerja dengan bilangan kompleks untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan kubik.

Langkah selanjutnya adalah kertas 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations oleh matematikawan Prancis-Italia Joseph Louis Lagrange , dalam metode resolvens Lagrange , di mana ia menganalisis solusi kubik dan kuartik Cardano dan Ferrari dengan mempertimbangkannya dalam hal permutasi akar, yang menghasilkan polinomial tambahan derajat yang lebih rendah, memberikan pemahaman terpadu tentang solusi dan meletakkan dasar untuk teori grup dan teori Galois. Yang terpenting, bagaimanapun, dia tidak mempertimbangkan komposisi permutasi. Metode Lagrange tidak meluas ke persamaan kuintik atau lebih tinggi, karena resolvent memiliki derajat yang lebih tinggi.

Quintic hampir terbukti tidak memiliki solusi umum oleh radikal oleh Paolo Ruffini pada tahun 1799, yang wawasan utamanya adalah menggunakan grup permutasi , bukan hanya satu permutasi. Solusinya berisi celah, yang dianggap Cauchy kecil, meskipun ini tidak ditambal sampai karya matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel , yang menerbitkan bukti pada tahun 1824, sehingga membangun teorema Abel-Ruffini .

Sementara Ruffini dan Abel menetapkan bahwa quintic umum tidak dapat diselesaikan, beberapa quintics tertentu dapat diselesaikan, seperti x ⁵ - 1 = 0 , dan kriteria yang tepat dimana suatu quintic atau polinomial yang lebih tinggi dapat ditentukan dapat dipecahkan atau tidak. diberikan oleh Évariste Galois , yang menunjukkan apakah polinomial dapat dipecahkan atau tidak adalah setara dengan apakah kelompok permutasi akarnya - dalam istilah modern, kelompok Galoisnya - memiliki struktur tertentu - dalam istilah modern, apakah itu atau tidak adalah kelompok yang dapat dipecahkan . Kelompok ini selalu dapat dipecahkan untuk polinomial dengan derajat empat atau kurang, tetapi tidak selalu demikian untuk polinomial derajat lima dan lebih besar, yang menjelaskan mengapa tidak ada solusi umum pada derajat yang lebih tinggi.

Tulisan Galois '

Potret Évariste Galois berusia sekitar 15 tahun

Pada tahun 1830 Galois (pada usia 18) menyerahkan sebuah memoar ke Paris Academy of Sciences sebuah memoar tentang teorinya tentang solvabilitas oleh radikal; Makalah Galois akhirnya ditolak pada tahun 1831 karena terlalu samar dan untuk memberikan kondisi dalam hal akar persamaan alih-alih koefisiennya. Galois kemudian meninggal dalam duel pada tahun 1832, dan makalahnya, " Mémoire sur les condition de résolubilité des équations par radicaux ", tetap tidak diterbitkan hingga 1846 ketika diterbitkan oleh Joseph Liouville disertai dengan beberapa penjelasannya sendiri. ^[4] Sebelum publikasi ini, Liouville mengumumkan hasil Galois ke Akademi dalam pidato yang dia berikan pada 4 Juli 1843. ^[5] Menurut Allan Clark, karakterisasi Galois "secara dramatis menggantikan karya Abel dan Ruffini." ^[6]

Setelah

Teori Galois sangat sulit dipahami oleh orang-orang sezamannya, terutama pada tingkat di mana mereka dapat mengembangkannya. Misalnya, dalam komentarnya tahun 1846, Liouville benar-benar melewatkan inti teori-kelompok dari metode Galois. ^[7] Joseph Alfred Serret yang menghadiri beberapa ceramah Liouville, memasukkan teori Galois dalam bukunya tahun 1866 (edisi ketiga) Cours d'algèbre supérieure . Murid Serret, Camille Jordan , memiliki pemahaman yang lebih baik yang tercermin dalam bukunya tahun 1870 Traité des substutions et des équations algébriques . Di luar Prancis, teori Galois tetap lebih tidak jelas untuk periode yang lebih lama. Di Inggris, Cayley gagal memahami kedalamannya dan buku teks aljabar Inggris yang populer bahkan tidak menyebutkan teori Galois sampai jauh setelah pergantian abad. Di Jerman, tulisan Kronecker lebih berfokus pada hasil Abel. Dedekind menulis sedikit tentang teori Galois, tetapi memberikan ceramah tentangnya di Göttingen pada tahun 1858, menunjukkan pemahaman yang sangat baik. ^[8] Buku-buku Eugen Netto tahun 1880-an, berdasarkan Jordan's Traité , membuat teori Galois dapat diakses oleh audiens Jerman dan Amerika yang lebih luas seperti halnya buku teks aljabar Heinrich Martin Weber tahun 1895. ^[9]

Pendekatan kelompok permutasi untuk teori Galois

Diberikan polinomial, mungkin beberapa akar dihubungkan oleh berbagai persamaan aljabar . Misalnya, untuk dua akar, katakanlah A dan B , A ² + 5 B ³ = 7 . Ide utama dari teori Galois adalah untuk mempertimbangkan permutasi (atau penataan ulang) dari akar sedemikian rupa sehingga persamaan aljabar apa pun yang dipenuhi oleh akar masih terpenuhi setelah akar telah diubah. Awalnya, teori telah dikembangkan untuk persamaan aljabar yang koefisiennya adalah bilangan rasional . Ini meluas secara alami ke persamaan dengan koefisien di bidang apa pun, tetapi ini tidak akan dipertimbangkan dalam contoh sederhana di bawah ini.

Permutasi ini bersama-sama membentuk grup permutasi , juga disebut grup Galois dari polinomial, yang secara eksplisit dijelaskan dalam contoh berikut.

Contoh pertama: persamaan kuadrat

Pertimbangkan persamaan kuadrat

$$ {\ displaystyle x ^ {2} -4x + 1 = 0.}

Dengan menggunakan rumus kuadrat , kita menemukan bahwa kedua akar tersebut adalah

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} A & = 2 + {\ sqrt {3}}, \\ B & = 2 - {\ sqrt {3}}. \ end {aligned}}}

Contoh persamaan aljabar yang dipenuhi oleh A dan B termasuk

$$ {\ displaystyle A + B = 4,}

dan

$$ {\ displaystyle AB = 1.}

Jika kita menukar A dan B di salah satu dari dua persamaan terakhir kita mendapatkan pernyataan benar lainnya. Misalnya persamaan A + B = 4 menjadi B + A = 4 . Lebih umum benar bahwa ini berlaku untuk setiap kemungkinan hubungan aljabar antara A dan B sehingga semua koefisien rasional ; Artinya, dalam relasi semacam itu, menukar A dan B menghasilkan relasi benar lainnya. Ini hasil dari teori polinomial simetris , yang dalam hal ini, dapat digantikan dengan manipulasi rumus yang melibatkan teorema binomial . (Orang mungkin keberatan bahwa A dan B terkait dengan persamaan aljabar A - B - 2 √ 3 = 0 , yang tidak tetap benar ketika A dan B dipertukarkan.Namun, hubungan ini tidak dipertimbangkan di sini, karena memiliki koefisien −2 √ 3 yang tidak rasional .)

Kami menyimpulkan bahwa kelompok Galois dari polinomial x ² - 4 x + 1 terdiri dari dua permutasi: permutasi identitas yang meninggalkan A dan B tidak tersentuh, dan permutasi transposisi yang menukar A dan B. Ini adalah kelompok siklik berorde dua, dan oleh karena itu isomorfik ke Z / 2 Z.

Diskusi serupa berlaku untuk semua polinomial sumbu kuadrat ² + bx + c , di mana a , b , dan c adalah bilangan rasional.

• Jika polinomialnya berakar rasional, misalnya x ² - 4 x + 4 = ( x - 2) ² , atau x ² - 3 x + 2 = ( x - 2) ( x - 1) , maka golongan Galoisnya trivial ; Artinya, ini hanya berisi permutasi identitas.
• Jika memiliki dua akar irasional , misalnya x ² - 2 , maka golongan Galois berisi dua permutasi, seperti pada contoh di atas.

Contoh kedua

Pertimbangkan polinomial

$$ {\ displaystyle x ^ {4} -10x ^ {2} +1,}

yang juga bisa ditulis sebagai

$$ {\ displaystyle \ kiri (x ^ {2} -5 \ kanan) ^ {2} -24.}

Kami ingin mendeskripsikan kelompok Galois dari polinomial ini, sekali lagi dalam bidang bilangan rasional . Polinomial memiliki empat akar:

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} A & = {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}, \\ B & = {\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}}, \\ C & = - {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}, \\ D & = - {\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}}. \ end {aligned}}}

Ada 24 kemungkinan cara untuk mengubah keempat akar ini, tetapi tidak semua permutasi ini adalah anggota grup Galois. Anggota kelompok Galois harus mempertahankan persamaan aljabar apa pun dengan koefisien rasional yang melibatkan A , B , C , dan D.

Di antara persamaan ini, kami memiliki:

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} AB & = - 1 \\ AC & = 1 \\ A + D & = 0 \ end {aligned}}}

Oleh karena itu, jika φ adalah permutasi yang termasuk dalam grup Galois, kita harus memiliki:

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ varphi (B) & = {\ frac {-1} {\ varphi (A)}}, \\\ varphi (C) & = {\ frac {1} {\ varphi (A)}}, \\\ varphi (D) & = - \ varphi (A). \ End {aligned}}}

Ini menyiratkan bahwa permutasi didefinisikan dengan baik oleh citra A , dan bahwa kelompok Galois memiliki 4 elemen, yaitu:

( A , B , C , D ) → ( A , B , C , D )

( A , B , C , D ) → ( B , A , D , C )

( A , B , C , D ) → ( C , D , A , B )

( A , B , C , D ) → ( D , C , B , A )

Ini menyiratkan bahwa gugus Galois isomorfik dengan gugus empat Klein .

Pendekatan modern dengan teori medan

Dalam pendekatan modern, seseorang mulai dengan ekstensi bidang L / K (baca " L di atas K "), dan memeriksa kelompok automorfisme L yang memperbaiki K. Lihat artikel di grup Galois untuk penjelasan dan contoh lebih lanjut.

Hubungan antara kedua pendekatan tersebut adalah sebagai berikut. Koefisien polinomial yang dimaksud harus dipilih dari bidang alas K. Bidang atas L harus merupakan bidang yang diperoleh dengan menghubungkan akar polinomial yang bersangkutan dengan bidang alas. Setiap permutasi dari akar yang mengikuti persamaan aljabar seperti dijelaskan di atas menimbulkan automorfisme L / K , dan sebaliknya.

Pada contoh pertama di atas, kita mempelajari ekstensi Q ( √ 3 ) / Q , di mana Q adalah bidang bilangan rasional , dan Q ( √ 3 ) adalah bidang yang diperoleh dari Q dengan mendampingi √ 3 . Dalam contoh kedua, kami mempelajari ekstensi Q ( A , B , C , D ) / Q.

Ada beberapa keuntungan dari pendekatan modern dibandingkan dengan pendekatan grup permutasi.

• Ini memungkinkan pernyataan yang jauh lebih sederhana dari teorema fundamental teori Galois .
• Penggunaan bidang dasar selain Q sangat penting dalam banyak bidang matematika. Misalnya, dalam teori bilangan aljabar , teori Galois sering kali menggunakan bidang bilangan , bidang hingga atau bidang lokal sebagai bidang dasarnya.
• Ini memungkinkan seseorang untuk lebih mudah mempelajari ekstensi tak terbatas. Sekali lagi ini penting dalam teori bilangan aljabar, di mana misalnya seseorang sering membahas gugus Galois mutlak dari Q , yang didefinisikan sebagai gugus Galois dari K / Q di mana K adalah penutupan aljabar dari Q.
• Ini memungkinkan pertimbangan ekstensi yang tidak terpisahkan . Masalah ini tidak muncul dalam kerangka klasik, karena selalu diasumsikan secara implisit bahwa aritmatika terjadi pada karakteristik nol, tetapi karakteristik bukan nol sering muncul dalam teori bilangan dan geometri aljabar .
• Ini menghilangkan ketergantungan yang agak artifisial untuk mengejar akar polinomial. Artinya, polinomial yang berbeda dapat menghasilkan bidang ekstensi yang sama, dan pendekatan modern mengenali hubungan antara polinomial ini.

Kelompok dan solusi yang dapat dipecahkan oleh radikal

Gagasan tentang gugus terlarut dalam teori grup memungkinkan seseorang untuk menentukan apakah suatu polinomial dapat diselesaikan dalam radikal, bergantung pada apakah gugus Galoisnya memiliki sifat dapat larut. Intinya, setiap ekstensi bidang L / K sesuai dengan kelompok faktor dalam rangkaian komposisi kelompok Galois. Jika grup faktor dalam deret komposisi adalah siklik berorde n , dan jika dalam bidang terkait ekstensi L / K bidang K sudah berisi akar kesatuan primitif ke- n , maka itu adalah ekstensi radikal dan elemen L dapat diekspresikan menggunakan akar n dari beberapa elemen K.

Jika semua kelompok faktor dalam deret komposisinya adalah siklik, maka gugus Galois disebut dapat larut , dan semua elemen pada bidang terkait dapat ditemukan dengan berulang kali mengambil akar, hasil kali, dan jumlah elemen dari bidang dasar (biasanya Q ) .

Salah satu kemenangan besar Teori Galois adalah bukti bahwa untuk setiap n > 4 , terdapat polinomial derajat n yang tidak dapat dipecahkan oleh radikal (ini dibuktikan secara independen, menggunakan metode serupa, oleh Niels Henrik Abel beberapa tahun sebelumnya, dan merupakan teorema Abel-Ruffini ), dan cara sistematis untuk menguji apakah polinomial tertentu dapat dipecahkan oleh radikal. Teorema Abel-Ruffini dihasilkan dari fakta bahwa untuk n > 4 kelompok simetris S _n berisi subkelompok normal , non-siklik, dan sederhana , yaitu kelompok A _{n yang} bergantian .

Contoh kuintik non-solvable

Untuk polinomial f ( x ) = x ⁵ - x - 1 , akar tunggal nyata x = 1,1673 ... adalah aljabar, tetapi tidak dapat diekspresikan dalam akar. Empat akar lainnya adalah bilangan kompleks .

Van der Waerden ^[10] mengutip polinomial f ( x ) = x ⁵ - x - 1 . Dengan teorema akar rasional ini tidak memiliki nol rasional. Juga tidak memiliki faktor linier modulo 2 atau 3.

Golongan Galois dari f ( x ) modulo 2 adalah siklik berorde 6, karena f ( x ) modulo 2 difaktorkan menjadi polinomial berorde 2 dan 3, ( x ² + x + 1) ( x ³ + x ² + 1) .

f ( x ) modulo 3 tidak memiliki faktor linier atau kuadrat, dan karenanya tidak dapat direduksi. Jadi grup modulo 3 Galoisnya berisi elemen berorde 5.

Diketahui ^[11] bahwa gugus Galois modulo sebuah bilangan prima adalah isomorfik ke subkelompok dari gugus Galois di atas rasio. Grup permutasi pada 5 objek dengan elemen orde 6 dan 5 harus merupakan grup simetris S ₅ , yang karenanya merupakan grup Galois dari f ( x ) . Ini adalah salah satu contoh paling sederhana dari polinomial kuintik tak terpecahkan. Menurut Serge Lang , Emil Artin menemukan contoh ini. ^[12]

Masalah Galois Terbalik

Artikel utama: Masalah Galois Terbalik

Masalah Galois kebalikannya adalah menemukan ekstensi medan dengan grup Galois tertentu.

Selama seseorang tidak juga menentukan bidang dasar , masalahnya tidak terlalu sulit, dan semua kelompok terbatas memang muncul sebagai kelompok Galois. Untuk menunjukkan ini, seseorang dapat melanjutkan sebagai berikut. Pilih bidang K dan grup G hingga. Teorema Cayley mengatakan bahwa G adalah (sampai isomorfisme) subkelompok dari kelompok simetris S pada unsur-unsur G. Pilih tak tentu { x _α } , satu untuk setiap elemen α dari G , dan gabungkan dengan K untuk mendapatkan bidang F = K ({ x _α }) . Berisi dalam F adalah bidang L dari fungsi rasional simetris di { x _α } . Golongan Galois dari F / L adalah S , berdasarkan hasil dasar Emil Artin. G bertindak atas F dengan pembatasan aksi S. Jika medan tetap dari aksi ini adalah M , maka menurut teorema fundamental teori Galois , kelompok Galois dari F / M adalah G.

Di sisi lain, ini adalah masalah terbuka apakah setiap grup berhingga adalah grup Galois dari perluasan bidang dari bidang Q dari bilangan rasional. Igor Shafarevich membuktikan bahwa setiap grup hingga yang dapat dipecahkan adalah grup Galois dari beberapa perpanjangan Q. Berbagai orang telah memecahkan masalah Galois terbalik untuk kelompok sederhana non-Abelian tertentu . Keberadaan solusi telah ditunjukkan untuk semua kecuali satu ( kelompok Mathieu M ₂₃ ) dari 26 kelompok sederhana sporadis. Bahkan ada polinomial dengan koefisien integral yang kelompok Galoisnya adalah kelompok Monster .